圏論的位相の基礎理論からCHausにおける位相の一致、およびその圏論的抽象化まで

補題 2.1: 表現可能前層の層条件と有効エピふるいの同値性

圏 $\mathcal{C}$ における対象 $X$ 上のふるい $S$ が有効エピふるいであるための必要十分条件は、任意の表現可能前層 $h_Z = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ が $S$ に関して層条件を満たすことである。

証明:
$\mathcal{C}$ から $\mathbf{Set}$ への反変表現可能関手 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ は、圏 $\mathcal{C}$ における余極限を集合の圏 $\mathbf{Set}$ における極限 (limit) に変換する普遍的な性質を持つ。
$S$ が有効エピふるいである ($X \cong \mathrm{colim}_{f \in S} \mathrm{dom}(f)$) ならば、この極限への変換により

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z) \cong \lim_{f \in S} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathrm{dom}(f), Z)$$

という同型がすべての $Z$ に対して成り立つ。右辺の極限の元は $S$ 上の適合族 (matching family) であり、左辺の元は大域的元であるため、これはまさに $h_Z$ が $S$ に関して層であることを意味する。
逆に、すべての $Z$ について $h_Z$ が $S$ の層であるならば上記の同型が成り立つ。米田の補題 (Yoneda lemma) に基づく余極限の普遍性により、すべての対象 $Z$ に対してこの同型が自然に成立するような対象 $X$ は、図式 $S$ の余極限と同型でなければならない。ゆえに $S$ は有効エピふるいである。証明終

定理 2.2: カノニカル位相のふるいは普遍的有効エピふるいと一致する

圏 $\mathcal{C}$ において、カノニカル位相 $J_{can}$ の被覆ふるいは、普遍的有効エピふるいの全体と正確に一致する。さらに、圏 $\mathcal{C}$ において「任意の有効エピふるいが引き戻しについて安定である」という条件が満たされる場合に限り、カノニカル位相は単なる有効エピふるいの全体と一致する。

証明:
第1段 (カノニカル位相のふるいが普遍的有効エピふるいであること):
$S \in J_{can}(X)$ とする。Grothendieck位相の安定性の公理より、任意の射 $g: Y \to X$ に対して引き戻しふるい $g^*S$ もまた $J_{can}(Y)$ に属する。カノニカル位相は最大の劣カノニカル位相であるため、$g^*S$ はすべての表現可能前層について層条件を満たす。補題2.1により、これは $g^*S$ が $Y$ 上の有効エピふるいであることを意味する。任意の $g$ についてこれが成り立つため、定義より $S$ は普遍的有効エピふるいである。

第2段 (普遍的有効エピふるいの全体がカノニカル位相をなすこと):
対象 $X$ 上の普遍的有効エピふるいの全体を $E_{univ}(X)$ とする。$E_{univ}$ がGrothendieck位相の3つの公理を満たすことを示す。
1. 極大性: 最大のふるい $t_X$ は恒等射を含み、自明に有効エピふるいである。任意の引き戻し $g^*t_X$ は $t_Y$ となるため、$t_X \in E_{univ}(X)$ である。
2. 安定性: $S \in E_{univ}(X)$ とし、$g: Y \to X$ をとる。任意の射 $h: Z \to Y$ に対して、$h^*(g^*S) = (g \circ h)^*S$ である。$S$ は普遍的であるため $(g \circ h)^*S$ は有効エピふるいである。したがって $g^*S$ 自身も普遍的有効エピふるいであり、$E_{univ}$ は引き戻しで安定である。
3. 推移性: $S \in E_{univ}(X)$ であり、任意の $f \in S$ について $f^*R \in E_{univ}(\mathrm{dom}(f))$ となるふるい $R$ を考える。$f^*R$ が有効エピふるいであるため $\mathrm{dom}(f) \cong \mathrm{colim}_{g \in f^*R} \mathrm{dom}(g)$ となる。これを $S$ が有効エピふるいであることによる余極限 $X \cong \mathrm{colim}_{f \in S} \mathrm{dom}(f)$ に代入すると、余極限の結合性 (colimits of colimits are colimits) により $X$ は $R$ の余極限と同型になる。この性質は任意の引き戻し後も維持されるため (仮定より $S$ と $f^*R$ が引き戻しで有効エピであり続けるため)、$R$ もまた普遍的有効エピふるいとなる。ゆえに $R \in E_{univ}(X)$ である。

以上により $E_{univ}$ はGrothendieck位相である。また、補題2.1より $E_{univ}$ に属するふるいは表現可能前層を層にするため、$E_{univ}$ は劣カノニカル位相である。カノニカル位相 $J_{can}$ は最大の劣カノニカル位相であるから $E_{univ} \subset J_{can}$ である。第1段で $J_{can} \subset E_{univ}$ を示しているため、$J_{can} = E_{univ}$ が成立する。

結論: カノニカル位相の被覆ふるいは正確に普遍的有効エピふるいである。もし圏 $\mathcal{C}$ が「有効エピふるいは自動的に引き戻しで安定である (普遍的である)」という性質を満たすならば、カノニカル位相は単なる有効エピふるいと完全に一致する。証明終

定理 3.1: $J_{coh}$ は Grothendieck位相である

証明:
1. 極大性: 最大のふるい $t_X$ は恒等射 $id_X : X \to X$ を含む。単元族 $\{id_X\}$ から誘導されるコプロダクト射は $id_X$ 自身であり、これは自明に正則エピ射である。ゆえに $t_X \in J_{coh}(X)$ である。
2. 安定性: $S \in J_{coh}(X)$ とし、任意の射 $g : Y \to X$ をとる。$S$ はコプロダクト射 $\coprod_{i=1}^n f_i$ が正則エピ射となる有限部分族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ を含む。各 $f_i$ と $g$ のファイバー積 $p_i : X_i \times_X Y \to Y$ をとる。有限余極限の引き戻しは引き戻しの余極限と同型になるため、コプロダクト $\coprod X_i \to X$ の $g$ に沿った引き戻しは $\coprod p_i$ となる。Barr完全圏において正則エピ射の引き戻しは正則エピ射であるから、$\coprod p_i$ も正則エピ射である。誘導された有限部分族 $\{p_i\}$ は引き戻しふるい $g^*S$ に含まれるため、$g^*S \in J_{coh}(Y)$ である。
3. 推移性: $S \in J_{coh}(X)$ であり、$f \in S \implies f^*R \in J_{coh}(\mathrm{dom}(f))$ となる $R$ を考える。$S$ は正則エピ射を誘導する有限部分族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ を含む。仮定より各 $(f_i)^*R$ も正則エピ射を誘導する有限部分族 $\{g_{ij}\}$ を含む。正則圏において正則エピ射の合成は再び正則エピ射となるため、有限部分族 $\{f_i \circ g_{ij}\}$ も正則エピ射を誘導する。この有限部分族は $R$ に含まれるため、$R \in J_{coh}(X)$ が成り立つ。証明終

定理 3.2: $J_{coh}$ は 劣カノニカル位相である

証明:
任意の対象 $Z$ に対し、表現可能前層 $h_Z = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ が $J_{coh}$ の層になることを示す。Barr完全圏において、任意の正則エピ射 $p: U \to X$ は自身の核対 $U \times_X U \rightrightarrows U$ の余等化子である。反変関手 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ は余極限を極限に変換するため、系列 $\mathrm{Hom}(X, Z) \to \mathrm{Hom}(U, Z) \rightrightarrows \mathrm{Hom}(U \times_X U, Z)$ は集合の圏における等化子となる。被覆ふるい $S \in J_{coh}(X)$ は、コプロダクト射 $p = \coprod f_i : \coprod X_i \to X$ が正則エピ射となる有限部分族 $\{f_i\}$ を含む。同型 $\mathrm{Hom}(\coprod X_i, Z) \cong \prod \mathrm{Hom}(X_i, Z)$ を等化子図式に適用すると、被覆部分族 $\{f_i\}$ に対する適合条件を満たす元に対して一意な大域的元が存在することが直ちに従う。ゆえに $h_Z$ は層である。証明終

定理 4.2: CHaus において $J_{can} = J_{coh}$ である

証明:
$S \in J_{can}(X)$ を普遍的有効エピふるいとする。定理2.2により、これは特に $X \cong \mathrm{colim}_{f \in S} \mathrm{dom}(f)$ を意味する。
背理法を用いる。$S$ のいかなる有限部分族 $F$ をとっても、その像の和 $M_F = \bigcup_{f \in F} \mathrm{Im}(f)$ が $X$ を覆わない（$M_F \neq X$）と仮定する。

【主張1】$S$ の有限部分族の全体 $\Lambda$ を包含関係（$F_1 \le F_2 \iff F_1 \subset F_2$）によって有向集合とみなす。仮定より各 $F \in \Lambda$ に対して $X \setminus M_F \neq \emptyset$ であるため、$x_F \in X \setminus M_F$ となる点を選ぶことができ、有向点族（ネット） $(x_F)_{F \in \Lambda}$ を構成できる。
証明: 各 $F \in \Lambda$ に対し、$X$ はコンパクトHausdorff空間であるから各射の像 $\mathrm{Im}(f)$ は閉集合、したがってその有限和 $M_F$ も閉集合である。背理法の仮定より $M_F \neq X$ であるため、補集合 $X \setminus M_F$ は空でない開集合となる。ここから各 $F$ に応じて点 $x_F \in X \setminus M_F$ を選択公理により選ぶことで、ネット $(x_F)_{F \in \Lambda}$ が確実に定まる。（主張1の証明終）

【主張2】 $\Lambda$ 上のすべてのウルトラフィルターからなる集合を $Y = \beta \Lambda_d$ （離散空間 $\Lambda_d$ の Stone-Cech コンパクト化）とする。$Y$ に適切な位相を導入すると、空間 $Y$ はコンパクトHausdorff空間となり、写像 $g: Y \to X$ （$g(\mathcal{V}) = \lim_{\mathcal{V}} x_F$）は連続写像となる。
（※「添字集合 $\Lambda$ 上のウルトラフィルター $\mathcal{V}$ に沿ったネット $x_F$ の極限」とは、点 $x$ の任意の開近傍 $W$ に対して $\{F \in \Lambda \mid x_F \in W\} \in \mathcal{V}$ が成り立つような点 $x$ のことを指し、空間 $X$ 側のフィルターの極限とは明確に区別される。$X$ はコンパクトHausdorff空間であるため、この極限は常に一意に存在する。）
証明:
(1) 位相の定義と Hausdorff 性:
$Y$ の各部分集合 $U \subset \Lambda$ に対し、$\hat{U} = \{ \mathcal{V} \in Y \mid U \in \mathcal{V} \}$ とする。ウルトラフィルターの性質より $\hat{U} \cap \hat{W} = \widehat{U \cap W}$ であり、$\{\hat{U}\}$ を基本開集合系とする位相が定まる。任意の異なる $\mathcal{U}, \mathcal{V} \in Y$ に対して、ウルトラフィルターの極大性からある $U \in \mathcal{U}$ が存在し $\Lambda \setminus U \in \mathcal{V}$ となる。$\hat{U}$ と $\widehat{\Lambda \setminus U}$ は交わらない開集合であり、それぞれ $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ を含むため、$Y$ は Hausdorff空間である。
(2) コンパクト性の証明:
$Y$ の開被覆 $\{\hat{U_i}\}_{i \in I}$ が有限部分被覆を持たないと仮定する。このとき、いかなる有限個の $i_1, \dots, i_k$ に対しても $Y \neq \bigcup_{k} \hat{U_{i_k}} = \widehat{\bigcup_k U_{i_k}}$ となる。これは $\Lambda \setminus \bigcup_k U_{i_k} \neq \emptyset$ を意味し、補集合の族 $\{\Lambda \setminus U_i\}$ が有限交叉性を持つことを示す。有限交叉性を持つ族は必ずあるウルトラフィルター $\mathcal{V}^* \in Y$ に含まれる。すると $\mathcal{V}^*$ はすべての $i$ について $\Lambda \setminus U_i \in \mathcal{V}^*$、すなわち $U_i \notin \mathcal{V}^*$ となり、どの $\hat{U_i}$ にも含まれず、被覆であることに矛盾する。ゆえに $Y$ はコンパクト空間である。
(3) $g$ の連続性:
任意の $\mathcal{V} \in Y$ について $g(\mathcal{V})$ の任意の開近傍 $W \subset X$ をとる。$X$ の正則性より、$g(\mathcal{V}) \in W_1 \subset \overline{W_1} \subset W$ となる開近傍 $W_1$ を取れる。極限の定義より $U = \{F \in \Lambda \mid x_F \in W_1\} \in \mathcal{V}$ である。このとき $\hat{U}$ は $\mathcal{V}$ の開近傍であり、任意の $\mathcal{V}' \in \hat{U}$ について $U \in \mathcal{V}'$ であるから、$g(\mathcal{V}') = \lim_{\mathcal{V}'} x_F$ は閉集合 $\overline{W_1}$ に属し、結果として $W$ に含まれる（$g(\hat{U}) \subset W$）。ゆえに $g$ は連続写像である。（主張2の証明終）

【主張3】普遍的有効エピふるいの引き戻しと Stone 空間における代数的定理（一般化の例 5.4）を組み合わせることで、「いかなる有限部分族も $X$ を覆わない」という仮定に対して決定的な矛盾を導くことができる。
証明:
$S \in J_{can}(X)$ は普遍的有効エピふるいであるため、定理2.2より、連続写像 $g: Y \to X$ による引き戻しふるい $g^*S$ は $Y$ における有効エピふるいをなす。すなわち $g^*S \in J_{can}(Y)$ である。
ここで、上で構成した空間 $Y = \beta \Lambda_d$ は、基本開集合 $\hat{U}$ が同時に閉集合でもある（$\hat{U} = Y \setminus \widehat{\Lambda \setminus U}$）ため、全不連結なコンパクトHausdorff空間、すなわち **Stone空間** である。
本稿の「第5部 一般化の例 5.4」で証明された通り、Stone空間においては純粋な代数的論証により $J_{can}(Y) = J_{coh}(Y)$ が必ず成立する。
したがって、$g^*S \in J_{coh}(Y)$ となり、$g^*S$ には $Y$ を覆う有限部分族 $\{h_1, \dots, h_n\}$ が存在する。
各 $h_i \in g^*S$ は $h_i: Z_i \to Y$ であり、引き戻しの定義からある $f_i \in S$ が存在して $g \circ h_i = f_i \circ u_i$ となる。
$h_1, \dots, h_n$ が $Y$ を覆うため、$\bigcup_{i=1}^n \mathrm{Im}(h_i) = Y$ である。これに $g$ を適用すると、
$$g(Y) = \bigcup_{i=1}^n g(\mathrm{Im}(h_i)) \subset \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Im}(f_i) = M_{F^*}$$
（ここで $F^* = \{f_1, \dots, f_n\}$ は $S$ の有限部分族）となる。
一方、$\Lambda$ の各元 $F$ に対応する単項ウルトラフィルター（主フィルター） $e_F \in Y$ を考えると、極限の性質より $g(e_F) = x_F$ である。
上の包含関係 $g(Y) \subset M_{F^*}$ より、すべての $F \in \Lambda$ について $g(e_F) = x_F \in M_{F^*}$ が成り立たなければならない。
しかし、【主張1】におけるネットの構成より、特定の $F^*$ 自身を選んだときの点については $x_{F^*} \notin M_{F^*}$ であるように選ばれており、これは決定的な矛盾である。（主張3の証明終）

結論:
したがって、背理法の最初の仮定は誤りであり、$S$ は必ず $X$ を覆う有限部分族を含まなければならない。これにより $\mathbf{CHaus}$ において $J_{can} = J_{coh}$ が完全に成立する。証明終

定理 5.2: $J$-コンパクト性と位相の一致の同値性

有限余極限を持つBarr完全圏 $\mathcal{C}$ において、カノニカル位相とコヒーレント位相が一致すること ($J_{can} = J_{coh}$) は、すべての対象が $J_{can}$-コンパクトであることと同値である。

証明:
($\implies$): $J_{can} = J_{coh}$ と仮定する。任意の対象 $X$ と $S \in J_{can}(X)$ をとると、$S \in J_{coh}(X)$ である。コヒーレント位相の定義より、$S$ は結合的に全射な有限部分族 $F$ を含む。Barr完全圏において結合全射な族は有効エピふるいを生成するため、$\langle F \rangle \in J_{can}(X)$ となる。ゆえに $X$ は $J_{can}$-コンパクトである。
($\impliedby$): すべての対象が $J_{can}$-コンパクトであると仮定する。$S \in J_{can}(X)$ をとると、定義より有限部分族 $F \subset S$ が存在し $\langle F \rangle \in J_{can}(X)$ となる。定理2.2より $\langle F \rangle$ は普遍的有効エピふるいであるため、特に $X \cong \mathrm{colim}_{f \in \langle F \rangle} \mathrm{dom}(f)$ が成り立つ。有限部分族 $F$ がこの余極限を生成するため、Barr完全圏の性質によりコプロダクト射 $\coprod_{f \in F} \mathrm{dom}(f) \to X$ は正則エピ射となる。したがって $F$ は結合的に全射であり、$S \in J_{coh}(X)$ が成り立つ。証明終

一般化の例 5.4: Stone空間の圏における圏論的・代数的証明

$\mathbf{Stone}$ を全不連結なコンパクトHausdorff空間の圏とする。Stone双対性により $\mathbf{Stone}^{op} \simeq \mathbf{Bool}$ (Boole代数の圏) である。

証明:
対象 $X \in \mathbf{Stone}$ 上の任意の普遍的有効エピふるい $S \in J_{can}(X)$ をとる。$X$ はあるBoole代数 $B$ に対応する。双対性により、$S$ は $\mathbf{Bool}$ における $B$ を頂点とする極限図式、特に有効モノコシーブ (effective monomorphic cosieve) に対応する。
Boole代数は代数多様体 (variety of algebras) をなすため、すべてのモノ射は有効である。したがって、このコシーブは $B$ から様々な商代数 $B/I_\alpha$ (ここで $I_\alpha$ はイデアル) への全射準同型の族 $\{ \pi_\alpha : B \to B/I_\alpha \}$ であり、これが極限 (直積への埋め込み) になるということは、イデアルの共通部分がゼロであることを意味する。
$$\bigcap_{\alpha} I_\alpha = \{0\}$$
ここで背理法を用いる。このコシーブがいかなる有限部分コシーブも有効にしないと仮定する。すなわち、いかなる有限個のイデアルの共通部分もゼロにならないと仮定する。
Boole代数において、任意の有限共通部分が $\{0\}$ にならないようなイデアルの族 $\{I_\alpha\}$ は、有限交叉性 (finite intersection property) を持つフィルターと双対的な「真のイデアル」を生成する。Zornの補題により、これはある極大イデアル $\mathfrak{m} \subset B$ に含まれる。
すると、すべての $\alpha$ について $I_\alpha \subset \mathfrak{m}$ となる。この極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対応する元 $e \in B$ ($e \notin \mathfrak{m}$) はゼロではないが、各商代数 $B/I_\alpha$ に射影するとゼロになり、全体を統制する極限の性質に矛盾を引き起こす (幾何学的には、すべての像が被覆できないある「点」が残ることに相当する)。
代数学的な有限交叉性の定理により矛盾が導かれるため、必ず有限個の $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ で $\bigcap_{k=1}^n I_{\alpha_k} = \{0\}$ とならなければならない。テキストの対応関係から、これは元の $\mathbf{Stone}$ において、有限部分族の射の像が $X$ 全体を覆うこと、すなわち $S \in J_{coh}(X)$ を意味する。
ゆえに $\mathbf{Stone}$ において $J_{can} = J_{coh}$ であることが純粋に代数的・圏論的に証明された。証明終